<<M24A-12º ANO

11-Funções.

11.5-Derivadas.

•Derivada da função exponencial de base e

Promover a utilização da tecnologia para representar funções da família

f(x)=a^x,

a ∈ [2,3] 

e respectivas derivadas (calculadas usando funções específicas da tecnologia para derivadas ou tangentes ao gráfico) e verificar que só existe um valor de a para o qual a função e a sua derivada coincidem.

Identificar o número e (número de Euler) como a única base da função exponencial em que o seu gráfico coincide com o gráfico da respetiva função derivada.

Conhecer a derivada da função

 f (x)=e^x .

Fazer referência ao trabalho pioneiro de Euler, o primeiro a estudar de forma sistemática o número e, que provou ser irracional.

•Derivada da função Logarítmica de base e

Identificar

g(x)=ln x 

como a função inversa de f (x)=e^x 

Saber relacionar geometricamente a derivada da função logarítmica com a derivada da função exponencial, tendo por base a simetria das retas tangentes aos gráficos em pontos simétricos, relativamente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Ilustrar a determinação da derivada de
g(x)=ln x, através da construção seguinte, usando tecnologia gráfica:

1. Construir a representação gráfica de f (x)=e^x  e, por meio de uma simetria relativa à bissetriz dos quadrantes ímpares, obter o gráfico da função g(x)=ln x;
 

2. Marcar um ponto de coordenadas (x, g(x)) e o seu simétrico relativamente à reta y=x;

3. Traçar a reta tangente ao gráfico de g em (x, g(x)) e, por simetria, traçar a tangente ao gráfico de f em (g(x), x);

4. Verificar que o produto dos declives das retas tangentes é igual a 1, qualquer que seja x;

5. Observar que o declive da tangente ao gráfico de f em (g(x), x) é x, porque (e^x)'=e^x;
6. Concluir que o declive da tangente ao gráfico de g em
(x, g(x)) é 1/x, ou seja  

•Regras de derivação

Conhecer o teorema da derivada da função composta (Regra da Cadeia).

Dar a conhecer e promover a utilização das regras de derivação, sem demonstrar, das funções

f (x)=x^α , f (x)=a^x , f (x)=log_ax 

 e de funções trigonométricas.

Conhecer as regras de derivação para funções do tipo:
• f (x)=x^α (com α real e x>0);
• f (x)=a^x (com a>0 e a≠1);
• f (x)=log_ax (com a>0, a≠1 e x>0);

• f (x)=sen(x), f (x)=cos(x) f (x)=tg(x)

Promover a aplicação do teorema da derivada da função composta, generalizando as fórmulas de derivação conhecidas.

Determinar derivadas envolvendo operações com as funções estudadas anteriormente, em casos simples.

•Problemas de otimização

Resolver problemas de otimização tendo por base funções deriváveis.

Promover a resolução de problemas de otimização envolvendo funções deriváveis já estudadas, num contexto de modelação matemática.

•Segunda derivada

Determinar a segunda derivada de funções polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Propor o cálculo da segunda derivada de funções.

Só estão incluídas nestas Aprendizagens Essenciais situações de cálculo algébrico da segunda derivada de funções cujo grau de dificuldade não ultrapasse o dos seguintes exemplos:

f (x)=x⁴-4x³+7, g(x)=x²⁰.ln x 

•Concavidades e pontos de inflexão.

Relacionar o sinal e os zeros da segunda derivada com o sentido das concavidades e pontos de inflexão do gráfico de uma função.

Promover o estudo de funções, incluindo o sentido das concavidades e os pontos de inflexão em intervalos onde as funções têm segunda derivada.

Nos problemas de otimização e no cálculo de pontos de inflexão do gráfico de uma função é proposto que o trabalho com os alunos se restrinja a funções polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas e operações entre estas.